液壓馬達液壓流體力學能量方程
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    能量方程又常稱伯努利方程,它實際上是流動液體的能量守恒定律。
    由于流動液體的能量問題比較復雜,所以在討論時先從理想液體的流動情況著手,然后再展開到實際液體的流動上去。
    (一)理想液體的運動微分方程
    在液流的微小流束上取出一段通流截面積為dA、長度為ds的微元體,如圖3-12所示。在一維流動情況下,對理想液體來說,作用在微元體上的外力有以下兩種:
    1)壓力在兩端截面上所產生的作用力
圖3-12理想液體的一維流動
   
    2)作用在微元體上的重力
    – pgdsdA
這一微元體的慣性力為
    式中u——微元體沿流線的運動速度,u=ds/dt。
    根據牛頓第二定律∑F= ma有
    式(3-15)就是理想液體的運動微分方程,亦稱液流的歐拉方程。它表示了單位質量液體的力平衡方程。
    (二)理想液體的能量方程
    將式(3-15)沿流線s從截面1積分到截面2(見圖3-12),便可得到微元體流動時的能量關系式,即
    上式兩邊同除以g,移項后整理得
    對于恒定流動來說,?u/?t=0,故上式變為
    p1/pg+z1+(u2)2/2g=p2/pg+z2+(u2)2/2g
式(3-16)、式(3-17)分別為理想液體微小流束作非恒定流動和恒定流動時的能量方程。
    由于截面l、2是任意取的,因此式(3-17)也可寫成
    p/pg+z+u2/2g=常數     (3-18)
式(3-18)與液體靜壓力基本方程式(3-4)相比多了一項單位重力液體的動能U2/2g(常稱速度頭)。
    因此,理想液體能量方程的物理意義是:理想液體作恒定流動時具有壓力能、位能和動能三種能量形式,在任一截面上這三種能量形式之間可以相互轉換,但三者之和為一定值,即能量守恒。
    (三)實際液體的能量方程
    實際液體流動時還需克服由于粘性所產生的摩擦阻力,故存在能量損耗。設圖3-12中微元體從截面1到截面2因粘性而損耗的能量為h’w,則實際液體微小流束作恒定流動時的能量方程為
    p1/pg+z1+(u1)2/2g=p2/pg+z2+(u2)2/2g+h’w                (3-19)
    為了求得實際液體的能量方程,圖3-13示出了一段流管中的液流,兩端的通流截面積各為A1、A2。在此液流中取出一微小流束,兩端的通流截面積各為dA1和dA2,其相應的壓力、流速和高度分別為p1、u1、zl和p2、u2、z2:。這一微小流束的能量方程是式( 3-19)。將式(3-19)的兩端乘以相應的微小流量dq(dq=u1dA1=u2dA2),然后各自對液流的通流截面積A1和A2進行積分,得
上式左端及右端前兩項積分分別表示單位時間內流過A1和A2的流量所具有的總能量,而右端最后一項則表示流管內的液體從A1流到A2因粘性摩擦而損耗的能量。
圖3-13 流管內液體能量方程推導簡圖
為使式(3-20)便于實用,首先將圖3-13中截面A1和A2處的流動限于平行流動(或緩變流動),這樣,通流截面A1、A2可視作平面,在通流截面上除重力外無其他質量力,因而通流截面上各點處的壓力具有與液體靜壓力相同的分布規律,即p/(pg) +z=常數。
    其次,用平均流速v代替通流截面A1或A2上各點處不等的速度v,且令單位時間內截面A處液流的實際動能和按平均流速計算出的動能之比為動能修正系數a,即
    此外,對液體在流管中流動時因粘性摩擦而產生的能量損耗,也用平均能量損耗的概念來處理,即令
    將上述關系式代入式( 3-20),整理后可得
    p1/pg+z1+a1(v1)2/2g=p2/pg+z2+a2(v2)2/2g+hw           (3-22)
式中a1、a2——截面A1、A2上的動能修正系數。
    式( 3-22)就是僅受重力作用的實際液體在流管中作平行(或緩變)流動時的能量方程。它的物理意義是單位重力實際液體的能量守恒。其中^。為單位重力液體從截面A.流到截面A2過程中的能量損耗。
    在應用上式時,必須注意p和z應為通流截面的同一點上的兩個參數,為方便起見,通常把這兩個參數都取在通流截面的軸心處。
    例3-3推導文丘利流量計的流量公式。
    解 圖3-14所示為文丘利流量計原理圖。在
文丘利流量計上取兩個通流截面1-1和2-2,它們的面積、平均流速和壓力分別為A1、Vl、P1和A2、V2、P2。如不計能量損失,對通過此流量計的液流采用理想液體的能量方程,并取動能修正系數a=l,則有
     p1/pg+(v1)2/2g=p2/pg+(v2)2/2g
根據連續方程,又有
圖3-14文丘利流量計
    v1A1=V2A2=q
U形管內的壓力平衡方程為
    P1+pgh=P2+p’gh
式中p.P’——液體和水銀的密度。
    將上述三個方程聯立求解,則可得
    即流量可以直接按水銀壓差計的讀數^換算得到。
    例3—4計算液壓泵吸油口處的真空度。
    液壓泵吸油裝置如圖3-15所示。設油箱液面壓力為P1,液壓泵吸油口處的絕對壓力為P2,泵吸油口距油箱液面的高度為h。
    解  以油箱液面為基準,并定為1-1截面,泵的吸油口處為2-2截面。取動能修正系數al=a2 =1,對1-1和2-2截面建立實際液體的能量方程,則有
    p1/pg+(v1)2/2g= p2/pg+h+(v2)2/2g+hw   
圖示油箱液面與大氣接觸,故P1為大氣壓力,即P1=Pa;Vl為油箱液面下降速度,由于v1《V2,故v1可近似為零;V2為泵吸油口處液體的流速,它等于流體在吸油管內的流速;hw為吸油管路的能量損失。因此,上式可簡化為
    Pa/pg=P2/pg+h+(v2)2/2g+hw
所以液壓泵吸油口處的真空度為
圖3-15液壓泵吸油裝置
    Pa -P2=pgh+0.5p(v2)2+pghw=pgh+0.5p(v2)2+hw
    由此可見,液壓泵吸油口處的真空度由三部分組成:把油液提升到高度危所需的壓力、將靜止液體加速到V2所需的壓力和吸油管路的壓力損失。

本文標題:液壓馬達液壓流體力學能量方程


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